Zadanie 268.
zad3.bmp

(kliknij, aby powiększyć)

Oznaczenia jak na rysunku ($ABC$ - dany trójkąt, $X$ - dowolny punkt, $K,L,M$ - rzuty na proste boków trójkąta).

Zauważmy, że $\angle XBC = 180^{\circ} - \angle XAC$ (na czworokącie $XABC$ jest opisany okrąg).
Wtedy, ponieważ $\angle XAM = 180^{\circ} - \angle XAC$ (dopełnienie wzdłuż prostej $CM$), to $\angle XAM = \angle XBC$.
Idąc dalej, widząc że $\Delta AXM$ oraz $\Delta BLX$ są trójkątami prostokątnymi, do tego zawierają po kącie o tej samej miarze, to: $\angle MXA = \angle BXL$.
Kontynuując, zauważamy że na czworokącie $AMXK$ możemy opisać okrąg ($\angle AKX = \angle AMX = 90^{\circ}$). Dlatego $\angle AKM = \angle AXM$ (oparte na łuku $AM$. Analogicznie w czworokącie $BLKX$: $\angle BKL = \angle BXL$ (oparte na łuku $BL$).
Z tego mamy iż: $\angle BKL = \angle MKA$, a stąd mamy współliniowość punktów $K, L, M$.