Zadanie 273.
273.bmp

Oznaczenia jak na rysunku.
Zauważmy, że po poprowadzeniu przekątnych w danym czworokącie, możemy dostrzec, iż:
$AC \parallel MN$ (z faktu 1. w $\Delta ACD$) oraz $AC \parallel KL$ (także z faktu 1. w $\Delta ACB$). Wynika z tego, iż $KL \parallel MN$. Analogicznie dla przekątnej $BD$ i odcinków $ML$ i $KN$. Stąd teza.

(a) Aby dany czworokąt miał równe odcinki, to na mocy faktu 1. musi mieć on równe przekątne ($AC=BD$), wtedy (dalej z faktu 1.):

$KL = MN = \frac{1}{2} AC$ (odpowiednio $\Delta ACB$ i $\Delta ADC$)

$KN = LM = \frac{1}{2} BD$ (odpowiednio $\Delta ABD$ i $\Delta BDC$).

Korzystając z założenia $AC=BD$ mamy:

$KL = MN = KN = LM = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} BD$

(b) Zauważmy, że:

$MN \parallel AC$ (fakt 1 w $\Delta ADC$ oraz $DB \parallel ML$ (fakt 1 w $\Delta BDC$),

wtedy:

$\angle NML = \angle AOB$

Zgodnie z tym i z podpunktu a, wynika że przekątne muszą być równej długości i prostopadłe.