Zadanie 279.

Wykaże, że środki boków jednoznacznie wyznaczają pole czworokąta.

zad.bmp

Oznaczenia jak na rysunku.

Odcinki $GF$ i $HE$ łączą środki boków w trójkątach $DBC$ i $DBA$, zatem ze wzoru:

(1)
\begin{align} P = \frac{ab\sin\alpha}{2} \end{align}

oraz faktu 1, widzimy, iż:

(2)
\begin{align} P_{GFC} = \frac{1}{4} P_{DBC} \end{align}
(3)
\begin{align} P_{HEA} = \frac{1}{4} P_{DBA} \end{align}

Dodając te równości (2) i (3) stronami mamy:

(4)
\begin{align} P_{GFC} + P_{HEA} = \frac{1}{4} P_{DBC} + \frac{1}{4} P_{DBA} = \frac{1}{4} P_{ABCD} \end{align}

Analogicznie:

(5)
\begin{align} P_{HGD} + P_{FEB} = \frac{1}{4} P_{ABCD} \end{align}

Mamy zatem

(6)
\begin{align} P_{EFGH} = P_{ABCD} - P_{GFC} - P_{HEA} - P_{HGD} - P{FEB} = \frac{1}{2} P_{ABCD} \end{align}