Zadanie 279.
Wykaże, że środki boków jednoznacznie wyznaczają pole czworokąta.
Oznaczenia jak na rysunku.
Odcinki $GF$ i $HE$ łączą środki boków w trójkątach $DBC$ i $DBA$, zatem ze wzoru:
(1)\begin{align} P = \frac{ab\sin\alpha}{2} \end{align}
oraz faktu 1, widzimy, iż:
(2)\begin{align} P_{GFC} = \frac{1}{4} P_{DBC} \end{align}
(3)
\begin{align} P_{HEA} = \frac{1}{4} P_{DBA} \end{align}
Dodając te równości (2) i (3) stronami mamy:
(4)\begin{align} P_{GFC} + P_{HEA} = \frac{1}{4} P_{DBC} + \frac{1}{4} P_{DBA} = \frac{1}{4} P_{ABCD} \end{align}
Analogicznie:
(5)\begin{align} P_{HGD} + P_{FEB} = \frac{1}{4} P_{ABCD} \end{align}
Mamy zatem
(6)\begin{align} P_{EFGH} = P_{ABCD} - P_{GFC} - P_{HEA} - P_{HGD} - P{FEB} = \frac{1}{2} P_{ABCD} \end{align}